Δευτέρα, 18 Αυγούστου 2008

Πρώτοι στα τηλέφωνα

Ο αριθμός 10.123.457.689 είναι ο μικρότερος πρώτος που περιέχει όλους τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 10. Ψάχνω τον μικρότερο πρώτο με 12 ψηφία που να περιέχει όλους τους αριθμούς από 1 μέχρι το Β στο δωδεκαδικό για να φτιάξω μία σειρά. Άσχετο με τα υπόλοιπα.

Ο Ευκλείδης δεν απέδειξε ότι οι πρώτοι είναι άπειροι, αλλά ότι δοθέντος ενός πρώτου πάντα θα υπάρχει κάποιος μεγαλύτερος πρώτος. Υπάρχει διαφορά και μάλιστα σημαντική (ενεργεία και δυνάμει άπειρο), άσχετο όμως κι αυτό με τα τηλέφωνα.

Ο αριθμός του κινητού μου τηλεφώνου είναι ο 321.367.945-οστός πρώτος, και μπήκαμε στο θέμα!

Το άθροισμα των ψηφίων του κινητού μου είναι 3 φορές ο 5-ος πρώτος, αν δε διαιρεθεί (ο αριθμός του κινητού μου) με τον αριθμό των μαθητών του Κυρίου (αριθμός που ως γνωστών ισούται με νόημα με τους άθλους του Ηρακλή, σίγουρα κάποιος θα πιστεύει κάτι τέτοιο) δίνει ένα ανάγωγο κλάσμα με αριθμητή τον ως άνω προκύψαντα πρώτο και παρονομαστή τον αριθμό που πρέπει να πολλαπλασιαστεί (ο πρώτος) για να δώσει το άθροισμα των ψηφίων του κινητού μου. Έτσι πάει.

Το σταθερό μου τηλέφωνο δεν είναι δυστυχώς πρώτος, αν όμως του αφαιρέσουμε το 1.893.700.000 (ο αριθμός αυτός προκύπτει από την απαλοιφή ενός από τα τρία ίδια ψηφία στο μέσον του αριθμού του τηλεφώνου μου έτσι ώστε ο αριθμός από 10-ψήφιος να γίνει 9-ψήφιος) προκύπτει ο 11623054-οστός και πολύ πρώτος! Παρεπιπτώντος η φυλή Protei της κεντρικής Αφρικής πιστεύει ότι οι πρώτοι είναι τα οστά των αριθμών και μάλιστα διαθέτει και μια ενορατική απόδειξη της εικασίας του Riemann ([ειρήσθω δε] ότι οι αριθμοί κατά τους Protei είναι έμβια όντα κι όχι ιδεατά κατά την πυθαγορικοπλατωνική παράδοση, τα οποία κατοικούν στον πλανήτη ΣΟΜΘΙΡΑ. Ο,τι θέλουν πιστεύουν αυτοί οι αφρικανοί, [εν παρόδω] τον Λούα-Λούα δεν έπρεπε να τον δώσουμε).

Αν το άθροισμα των πρώτων παραγόντων του αριθμού του σταθερού μου τηλεφώνου υποτετραπλασιαστεί δίνει τον 111-στο πρώτο.

Παίρνοντας διαδοχικά ανά δύο τους αριθμούς του σταθερού μου σχηματίζονται δύο πρώτοι, ο 5-ος και ο 13-ος. Όχι και τίποτα σπουδαίο, πέρα από το γεγονός ότι οι θέσεις των πρώτων είναι επίσης πρώτοι. [Αναρωτιέμαι αν οι πρώτοι που βρίσκονται σε θέσεις με πρώτο αύξοντα αριθμό (το 2, το 5, το 11, κλπ) είναι πιο «πρώτοι» από τους υπόλοιπους!]. Για το κινητό ούτε λόγος.

Το άθροισμα των λογαριασμών κινητού και σταθερού συνήθως δεν το ελέγχω για την πρωτοσύνη του λόγω μιας ελαφράς αδιαθεσίας που με καταβάλει σε τέτοιες περιπτώσεις. Η ίδια αδιαθεσία με καταβάλλει και σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Η μακάρια ηρεμία του Βούδα θα μπορούσε να ιδωθεί σαν μια διαρκής α-διαθεσία, με την έννοια ότι δεν διέθετε την σκέψη του σε τίποτε άλλο πέραν του τίποτε άλλου.

Αυτά τα γράφω αγναντεύοντας τα παράλια της Δ. Πελοποννήσου – τα οποία γλαφυρά απεικονίζονται στον ανωτέρω γεωφυσικό χάρτη της περιοχής - και περιμένοντας να χωνέψω, την βαριά όντως, χθεσινοβραδινή παστρουμαδόπιτα (νόστιμη η άτιμη, εντούτοις, την αμαρτίαν μου εγώ γιγνώσκω και η ανομία μου ενώπιον μου εστίν δια παντός). «Η συνειδητοποίηση της αμαρτίας είναι το πρώτο και σημαντικότερο βήμα για τον αμαρτωλό, τα επόμενα και σαφώς πιο εύκολα είναι η επανάληψη της ίδιας αμαρτίας, ή η ανακάλυψη νέων» (από το Εγκόλπιο του καλού Κατηχητόπουλου, απεσύρθη πριν την έκδοση του).

Νομίζω ότι ήρθε η ώρα για μπάνιο τώρα (το τώρα της συγγραφής αυτών των σκέψεων είναι διαφορετικό από το τώρα της καταχώρησης των στο διαδίκτυο, δεδομένου του ότι εδώ, τώρα πια εκεί, δεν έχω σύνδεση στο διαδίκτυο. Εγώ αυτά τα τώρα τα βλέπω σα χάντρες περασμένες σε σκοινί, οι Τραλφαμαντοριανοί σαν δυο φέτες ψωμί του τοστ, τη μία πάνω στην άλλη).

Σημείωση: Ο Kurt Vonnegut πέθανε στις 11 Απριλίου του 2007, έτσι έπρεπε να πάει, έτσι πήγε, το ήξερε κι ο ίδιος. 1452 χρόνια περίπου πριν τη σύνθεση του πρώτου βιβλίου του Καλώς Συγκερασμένου, κάποιος, λίγο πριν πεθάνει ψιθύρισε με μεγάλη δυσκολία λόγω σοβαρότατου προβλήματος στο λαιμό του:
"Προσπαθήστε να συμφιλιώσετε το θείο που υπάρχει μέσα σας με το θείο που υπάρχει στο σύμπαν."
Έτσι θα έπρεπε να πηγαίνει!

Σάββατο, 9 Αυγούστου 2008

Μορφολογία / Ανάλυση 2: MOZART Piano Sonata K.545 / I. Allegro

ΤΩι ΜΠΕΡΕΚΕΤΗι
Η Σονάτα σε Ντο Κ.545 είναι η πύλη που εισάγει στο μαγευτικό κόσμο της σονάτας κάθε νεαρό πιανίστα, αλλά και ένα προσβάσιμο και συνάμα υπέροχο κομμάτι για τον ερασιτέχνη. Ο Mozart την εισήγαγε στον κατάλογο των έργων του στις 26 Ιουνίου του 1788, μαζί με την Συμφωνία Νο.39, ως “Eine kleine Klavier Sonate fur anfaenger” (Μια Μικρή Σονάτα για Πιάνο για τους Αρχάριους). Είναι επίσης γνωστή ως “for beginners”, “Sonata facile” και “Sonata semplice”. Είναι πιθανόν η σονάτα να γράφτηκε ως διδακτικό έργο για κάποιον μαθητή του. Στις 2 Αυγούστου του 1788, ο Mozart γράφει στην αδελφή του και πιθανώς αναφέρεται στην Κ.545: “Πραγματικά έχεις κάθε λόγο να είσαι θυμωμένη μαζί μου! Θα συνεχίσεις όμως να είσαι όταν θα λάβεις με το ταχυδρομείο την τελευταία σύνθεση για πιάνο; Σίγουρα όχι! Μ’ αυτό τον τρόπο ελπίζω να διορθώσω τα πράγματα”.
Το χειρόγραφο της σονάτας είναι χαμένο. Η σονάτα εκδόθηκε το Φεβρουάριο του 1805 (δεν εκδόθηκε ενόσω ζούσε ο Mozart) από το Bureau de arts et dIndustrie στη Βιέννη με τον τίτλο “Sonate facile pour le pianoforte”. Ακολούθησαν σε σύντομο χρονικό διάστημα τρεις ακόμη εκδόσεις, το έργο όμως δεν συμπεριλήφθη στην έκδοση Oeuvres Complete του οίκου Breitkopf & Haertel.
Η σχετική τεχνική ευκολία της σονάτας – κανένα έργο του Mozart δεν είναι εύκολο – δεν σημαίνει και απλοϊκότητα, ή έστω απλότητα στην συνθετική τεχνική. Θα εξετάσουμε κατωτέρω μερικά σημεία της σονάτας που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον.
Ας ξεκινήσουμε με μια ερμηνεία της Ingrid Haebler του πρώτου μέρους - από τις καλλίτερες, αν όχι η καλλίτερη ερμηνεία κατά τη γνώμη μου:
A. Τονικό Πλάνο
Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της σονάτας Κ.545 είναι ότι η Επανέκθεση της εισάγεται στην IV και όχι στην συνήθη I (false recapitulation / Gauldin). Με αυτόν τον τρόπο η διαδοχή I V (Α΄ και Β΄θέμα) της Έκθεσης αντικατοπτρίζεται τρόπον τινά στην IVI της Επανέκθεσης. Το τμήμα της Επεξεργασίας, εκκινώντας από την V, οδηγείται στην V/IV. Αυτή η κατασκευή δημιουργεί μια ωραία αίσθηση ισορροπίας: η Ι εξισορροπείται από μια ανιούσα 5η, στο τέλος της Έκθεσης (V), και μια κατιούσα 5η, στην αρχή της Επανέκθεσης (IV). Εκτός από την Κ.545, το ίδιο τονικό πλάνο συναντάμε στην Συμφωνία Νο.5, στην Σονάτα op.120 και στην Σονάτα op.164 του Schubert, καθώς και σε μερικές σονάτες του Clementi.
Υπό μορφή διαγράμματος το τονικό πλάνο του πρώτου μέρους της K.545 έχει ως εξής:

Με την ευκαιρία δύο ακόμη ενδιαφέροντα παραδείγματα διατάραξης του συνήθους τονικού πλάνου της φόρμας σονάτας:
Ο Schubert στην Συμφωνία Νο.9 σε Ντο, εισάγει το Α΄ θέμα στην Επανέκθεση στην bIII (Mιb). O Schubert ξεγελά τον ακροατή με 76 μέτρα ισοκράτη G (515-590), όλα δείχνουν ότι θα επακολουθήσει η λύση του G στο C (VI), εντούτοις 8 μέτρα πριν την Επανέκθεση (591-598), εκλαμβάνει το G ως 3η της Μιb και εισάγει το Α΄ θέμα στην Επανέκθεση στην bIII (mode mixture).
Στην Συμφωνία Νο.4 σε φα του Tchaikovsky, η Επανέκθεση εισάγεται στην ρε! Η επιλογή του δικαιολογείται από το γενικότερο τονικό του πλάνο: χωρίζει την οκτάβα FF σε 4 ίσα μέρη με 3ες μικρές, FAbBDF. Η Επανέκθεση πέφτει πάνω στην ρε!
Β. Το Α΄Θέμα
Μια τετράμετρη φράση (μμ. 1-4) συνιστά το Α΄ Θέμα της Κ.545 (πρβ. με τα 35 μέτρα, τις τουλάχιστον 7 μελωδικές ιδέες και την πολύπλοκη κατασκευή της Συμφωνίας Νο.38 της Πράγας). Τα μμ. 5-12 συνιστούν την Περιοχή Μεταφοράς (Transition Region) που οδηγεί στην V όπου θα εισαχθεί το B΄ Θέμα.
Το τετράμετρο του Α΄ Θέματος είναι μια σύνθετη μελωδία (compound melody), στο πρώτο δίμετρο υπονοώντας 3 φωνές και στο δεύτερο δύο, όπως φαίνεται στην μουσικό παράδειγμα που ακολουθεί. Ο φθόγγος G5 δεσπόζει στο μ.1, προσεγγίζεται με ανιόντα αρπισμό από το C5, στο μ.2 επιστρέφουμε στον φθόγγο εκκίνησης του αρπισμού (C4). Το G5, σύμφωνο με το αρμονικό περιβάλλον, είναι ωσεί παρόν στο μ.2 (δηλώνεται με φθόγγο εντός παρενθέσεως). Στο μ.3 το Α5 λειτουργεί ως ανιόν ποίκιλμα στο G5. Ακολουθεί ρυθμική αναγωγή, μελωδική και αρμονική ανάλυση του τετράμετρου του Α΄Θέματος:

Γ. Διασύνδεση των Θεμάτων
Η κεφαλή του Β΄ Θέματος προέρχεται από σμίκρυνση και αντιστροφή της κεφαλής του Α΄ Θέματος. Το Καταληκτικό Θέμα – στο τέλος της Έκθεσης – προέρχεται από συνδυασμό διπλής σμίκρυνσης της κεφαλής του Α΄ Θέματος και της αντιστροφής του!


Δ. Επεξεργασία
Το μοτιβικό υλικό της αρχής της Επεξεργασίας προέρχεται από το Καταληκτικό Τμήμα της Έκθεσης, εντυπωσιακή είναι η αλλαγή του μείζονος σε ελάσσονα (V [Σολ] του τέλους της Έκθεσης – v [σολ] της αρχής της Επεξεργασίας). Το αρμονικό πλάνο της Επεξεργασίας σκιαγραφείται στην κατωτέρω ρυθμική αναγωγή:

Ε. Η Αλυσίδα των μμ. 18-21
Το επεισοδιακό τμήμα των μμ.18-21, που διασυνδέει το πρώτο μέρος (στην V) με το δεύτερο μέρος (στην vi) του Β΄ Θέματος, είναι μια αλυσίδα με κατιούσες 5ες, όπου συγχορδίες 6ης εναλλάσσονται με συγχορδίες σε ευθεία κατάσταση. Η λειτουργία της αλυσίδας είναι να επεκτείνει (chord expansion) τη συγχορδία της τονικής της Σολ με αλλαγή της κατάστασης της – από α΄ αναστροφή σε ευθεία κατάσταση:
Σημείωση: Οι αρμονικές αλυσίδες συχνά χαρακτηρίζονται από την επανάληψη ενός διαστηματικού προτύπου μεταξύ ενός ζεύγους φωνών, γνωστό ως linear intervallic pattern (γραμμικό διαστηματικό πρότυπο) στην αγγλική βιβλιογραφία. Στο ανωτέρω παράδειγμα το διαστηματικό πρότυπο είναι 10 – 10. Οι αρμονικές αλυσίδες με τα γραμμικά διαστηματικά πρότυπα τους συχνά συμμετέχουν σε αρμονικές προεκτάσεις (harmonic prolongations) και καθορίζουν ευρύτερες δομικές διασυνδέσεις. Τα γραμμικά διαστηματικά πρότυπα μπορούν είτε να επεκτείνουν μια συγχορδία (όπως στο παράδειγμα μας, II6), ή να κινηθούν από μια συγχορδία σε μια άλλη.
Υπόμνημα
A, B,C, … δηλώνουν φθόγγους
Ντο: Ντο μείζονα συγχορδία και Ντο μείζονα τονικότητα
ντο: ντο ελάσσονα συγχορδία και ντο ελάσσονα τονικότητα
C4: Το μεσαίο C του πιάνου
b: ύφεση
Βοηθήματα
GAULDIN R., Harmonic Practice in Tonal Music, W.W Norton, 1997
ALDWELL E. & SACHTER C., Harmony & Voice Leading, Schirmer, 2003
CADWALLADER A. & GAGNE D., Analysis of Tonal Music: A Schenkerian Approach
Oxford University Press, 1998
FORTE A. &GILBERT S.E., Introduction to Schenkerian Analysis, W.W Norton, 1982
GREEN D.M., Form in Tonal Music, Schirmer, 1979

PAJOT D., K545 "Sonate facile pour le pianoforte" in C
WIKIPEDIA, Wolfgang Amadeus Mozart
WIKIPEDIA,
Piano Sonata No.16

ΙΙ. K.545 / I. Allegro: Η Παρτιτούρα